数字背后的数学
——《百以内数的退位减法》教学反思
学习减法,学生要先学习从被减数的各个数位上直接减去减数的相应数位上的数。如:75-12
在运算的时候只要直接从5减去2,从7减去1就行了。然而这种简单的做法并不能解决所有的问题。当减数中低位上的数字大于被减数中对应的数位上的数字时(如:62-49,122-79),就不能这样直接进行计算了。学生如果要从62中减去49,就需要学习重组数字做减法。
借数背后的重组
学生在解决这一问题时,要知道不能从2中减去9,那么就需要从十位上借一个10来,然后变成了12-9计算完这个减法后,就剩下十位上的5-4了。我特别期望学生学会这个特别的步骤,从十位上拿1个十来,然后把它换成10个一。
要想解决这个问题,我认为学生必须理解数字62的意思,我通过出示62,以及5个十和14个一,在进行比较之后,学生能充分理解数的重组部分。按10进制,在个位上,10个一和一个十是相等的,学生要熟练掌握这种重组,实际值不发生变化,但是进行了转换。
“另一个数”和“这个数的另一部分”
讲解退位减法不够减的情况下,曾说过“不能从较小的数中减去较大的数”,课上被一个数学知识面比较广泛的学生推翻了,孩子说:“1-2等于负1”事后经过反复斟酌,实际上“不能从较小的数中减去较大的数”是一个错误的数学语句。尽管一二年级的学生还没有学习如何从一个较小的数中减去一个较大的数。事实上学生将来会学习。
“把被减数中的两个阿拉伯数字看作两个朋友或住在隔壁的两个邻居。”初次接触到这一观点,觉得特别新颖,现在感觉是一种数学上的误导。他暗示了被减数的两个阿拉伯数字是两个独立的数,而不是一个数的两部分。
实际上从62中,我们能否拿出一个数字49?如果你有一个六十几的数,你会从中拿出一个四十几的数吗?如果这样可以,那么2-9,我们能这样做吗?我直观的表示出2-9,拿走9个,1,2.不够,那么我们能做什么呢?我们可以到这个数的另一部分,拿我们能用的东西,从另一边取出来,拿到我们需要帮助的一边,让2变成12。62-49不是两个分离的过程,2-9然后60-40.它是一个完整的过程。最后解决的办法是:“到这个数的另外部分那里”,“拿到我们需要的一边来帮助”。两个词组“另一个数”和“这个数的另一部分”之间的差别是细微的,但是表达的数学上的意义是不同的。
“退一当十”,而不是“借一当十”
我的学生中,有学生已经从父母那里学到“借一当十”。我会向他们解释我们不是借一当十,而是分解一个10。借数不能解释为什么可以拿一个10到个位上。但是“退位”可以。在说退位的时候,蕴含的是最高位上的阿拉伯数字实际上是由低位上的数值组成的。它们是可以转化的。“借一个单位并把它变成10”听起来是随意的。我的学生曾问怎么能从十位上借?我们如果借了什么东西,以后是要还的。我们怎么还,又还什么?而且,借的时候我们应该有一个人愿意借给我们,如果十位不想借给个位怎么办?这些学生提出的问题我们无法回答。“退位”这个专业术语则蕴含了退位的全过程。
如果学生自己试图解决这些问题,实际上他们想到了各种重组的方式。我引导学生去发现,在做减法的不同方式中都蕴含着一个过程,把一捆解开了,这会使他们理解分解一个十的概念,而这个概念在计算中起了关键作用。最后把知识“打包”。算法进行优化,然后去解决问题。
作为一线教师,最难能可贵的就是思辨的精神,思辨是探究,可以帮助老师明理;思辨是责任,不盲从,不姑妄;思辨是成长,有自我,有理性。此文的价值,最主要的便在这两个字。
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